证明：不等式e^x≥x+1

证明：不等式e^x≥x+1

证明：不等式e^x≥x+1，本题用导数和数形相结合两种方法证明该不等式。

方法一：

【思路】：用导数的方法求解。

解：设y=e^x-(x+1),则：

y’=e^x-1.

令y’=0，则：

e^x-1=0

e^x=1

所以：x=0。

当x>0的时候，y’>0，则y为单调增函数;

当x<0的时候，y’<0，则y为单调减函数；

所以：当x=0,函数y有最小值，即：

y>=ymin=f(0)

e^x-(x+1)>=e^0-(0+1)=1-1=0

即：e^x>=x+1成立。

解：设函数f(x)=e^x，g(x)=x+1.

对于函数f(x)=e^x,为自然指数函数，定义域为全体实数，函数在定义域上为单调增函数，值域为：[0,+∞），图像示意图如下：

对于函数g(x)=x+1,为一次函数，定义域和值域均为全体实数，在定义域范围内，函数为增函数，图像示意图如下：

从图像可，函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方，二者有一个交点为(0,1),所以有：

f(x)>=g(x)

即：e^x>=x+1，成立。